TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 179

p={nRT \over V}={{\text{constante}} \over V}

x
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

W_{A\to B}=\int _{V_{A}}^{V_{B}}p\,dV

x
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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W_{A\to B}=\int _{V_{A}}^{V_{B}}p\,dV=\int _{V_{A}}^{V_{B}}{\frac {nRT}{V}}dV=nRT\int _{V_{A}}^{V_{B}}{\frac {1}{V}}dV=nRT\ln {\frac {V_{B}}{V_{A}}}

x
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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\Delta U=Q-W

x
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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Uma transformação isotérmica é uma transformação termodinâmica que ocorre a temperatura constante em um sistema fechado, sistema este que permite trocas de energia, mas não de matéria, entre o sistema e sua vizinhança. Isto tipicamente ocorre quando o sistema está em contato com um reservatório térmico exterior (banho térmico), e a mudança ocorre lentamente o suficiente para permitir que o sistema se ajuste continuamente a temperatura do reservatório pelo meio de troca de calor. Em contraste, um processo adiabáticoé um sistema onde não há troca de calor com o meio externo (Q = 0). Em outras palavras, em um processo isotérmico, ΔT = 0, mas Q ≠ 0, enquanto que em um processo adiabático, ΔT ≠ 0, mas Q = 0.

Gás Ideal

Várias isotermas de um gás ideal num diagrama PxV

Para o caso especial de um gás perfeito, onde se aplica a Lei de Boyle-Mariotte, o produto PV é uma constante, se o gás for mantido em condições isotérmicas. O valor da constante é nRT, onde n é o número de mols de gás presente e R é a constante dos gases perfeitos.

p={nRT \over V}={{\text{constante}} \over V}

Formalismo[editar | editar código-fonte]

Em termodinâmica, o trabalho envolvido quando um gás passa do estado A para o estado B é simplesmente:

W_{A\to B}=\int _{V_{A}}^{V_{B}}p\,dV

Para uma transformação termodinâmica com a temperatura constante o trabalho de

A

para

B

(vide a figura no canto superior a direita) se dá da seguinte forma:

W_{A\to B}=\int _{V_{A}}^{V_{B}}p\,dV=\int _{V_{A}}^{V_{B}}{\frac {nRT}{V}}dV=nRT\int _{V_{A}}^{V_{B}}{\frac {1}{V}}dV=nRT\ln {\frac {V_{B}}{V_{A}}}

Obs.: Uma vez que a temperatura (

T

) é constante ela pode ser retirada da Integral.

O sinal do trabalho vai depender dos casos em que ele for:

Se for uma expansão isotérmica o trabalho é positivo, pois $V_{B}>V_{A}$ , logo o logaritmo natural vai ser maior que 1. O logaritmo natural de um número maior do que 1 é positivo e, portanto, como era de se esperar, o trabalho $W$ é positivo;

Se for uma compressão isotérmica, $V_{B}<V_{A}$ , de modo que a razão dos volumes é menor que 1. O logaritmo natural de um número menor que 1 é negativo e, portanto, o trabalho é negativo.

É também de notar que, em muitos sistemas, se a temperatura é mantida constante, a energia interna do sistema, também é constante, e assim

\Delta U=0

. Da Primeira Lei da Termodinâmica,

\Delta U=Q-W

. Então,

Q=W

para processos isotérmicos. Em um caso especial, quando nenhum calor é trocado pelo sistema e a temperatura é constante, então não há trabalho realizado. Assim, o

W=0

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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NO SISTEMA CATEGORIAL DE GRACELI TODO TIPO DE MOVIMENTO TEM AÇÃO TRANSFORMADORA [como os outros elementos, como temperatura, radioatividade, luz, e outros],SOBRE ESTRUTURAS E ENERGIAS, TEMPO E ESPAÇO, INÉRCIA E GRAVIDADE, LUZ .

Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.

Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.

E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.

E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.

Sobre padrões de entropia.

Mesmo havendo uma desordem, esta desordem segue alguns parâmetros futuros e que dependem de condições dos estados de Graceli, ou seja, a desordem segue alguns padrões e ordens conforme avança e passa por fases e agentes fenomênicos, estruturais e geométricos.

Porem, a reversibilidade se torna impossível, aumenta a instabilidade e as incertezas de posição, intensidade, variações, efeitos e outros fenômenos conforme as próprias intensidades de dilatações, e agentes e estados envolvidos.

Levando em consideração que mesmo havendo ordem não é possível a reversibilidade do estado e condições em que se encontravam a energia, matéria, momentum, inércias, dimensões, e outros agentes.

A temperatura pode voltar ao seu lugar e ao seu ponto inicial, mas não as estruturas das partículas, as intensidades infinitésimas de padrões de energias, e nem o grau de oscilações que a energias, as interações, as transformações que passam estas partículas e suas energias, estruturas e interações, e as interações e intensidades de grau de variação de cada agente.

Porem, a desordem é temporal, ou seja, com o passar do tempo outras ordens e padrões se afirmarão.

Sendo que também a entropia varia conforme intensidade de instabilidade por tempo. E tempo por intensidade de instabilidade.

Assim, segue efeitos variacionais e de incertezas por instabilidade de energia adicionada, e de tempo.

Ou seja, uma grande instabilidade e desordem em pouco tempo vai levar a uma grande e instável por mais tempo uma entropia.

Do que um grande tempo com pequena intensidade de instabilidade e energia adicionada num sistema ou numa variação térmica.

Ou mesmo numa variação eletromagnética, ou mesmo na condutividade.

Princípio tempo instabilidade de Graceli.

Assim, a desordem acaba por encontrar uma ordem se não acontecer nenhuma instabilidade novamente. Pois, as partículas e energias tendem a se reorganizar novamente conforme o passar do tempo, e esta reorganização segue um efeito progressivo em relação à desordem e tempo. Como os vistos acima.

Ou seja, aquela organização anterior não vai mais acontecer, pois, segue o princípio da irreversibilidade, mas outras organizações se formarão conforme avança o tempo de estabilidade.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.

a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.

that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.

and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.

but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.

as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

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1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..

EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].

domingo, 31 de março de 2019

V={\frac {E_{p}}{q}}\,

x
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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V={\frac {K\,Q}{d}}

,
x
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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V_{L}={\frac {K\,Q_{1}}{d_{1}}}+{\frac {K\,Q_{2}}{d_{2}}}+{\frac {K\,Q_{3}}{d_{3}}}+{\frac {K\,Q_{4}}{d_{4}}}+{\frac {K\,Q_{5}}{d_{5}}}

x
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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\phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r}}

x
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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Potencial elétrico é a capacidade que um corpo energizado tem de realizar trabalho, ou seja, atrair ou repelir outras cargas elétricas. Com relação a um campo elétrico, interessa-nos a capacidade de realizar trabalho, associada ao campo em si, independentemente do valor da carga q colocada num ponto desse campo. Para medir essa capacidade, utiliza-se a grandeza potencial elétrico.

Para obter o potencial elétrico de um ponto, coloca-se nele uma carga de prova q e mede-se a energia potencial adquirida por ela. Essa energia potencial é proporcional ao valor de q. Portanto, o quociente entre a energia potencial e a carga é constante. Esse quociente chama-se potencial elétrico do ponto. Ele pode ser calculado pela expressão:

V={\frac {E_{p}}{q}}\,

, onde

$V\,$ é o potencial elétrico,
$E_{p}\,$ a energia potencial elétrica
$q\,$ a carga.

A unidade no SI é J/C = V (volt)

Portanto, quando se fala que o potencial elétrico de um ponto L é V_L = 10 V, entende-se que este ponto consegue dotar de 10J de energia cada unidade de carga de 1C. Se a carga elétrica for 3C por exemplo, ela será dotada de uma energia de 30J, obedecendo à proporção. Vale lembrar que é preciso adotar um referencial para tal potencial elétrico. Ele é uma região que se encontra muito distante da carga, teoricamente localizado no infinito.

História

Uma forma simples de sentir o efeito da corrente elétrica consiste em colocar uma colher por baixo da língua e um pedaço de folha de alumínio por cima. Quando se junta a folha de alumínio à colher, sente-se um sabor amargo na língua, produzido pela passagem de cargas elétricas através da língua. Esse fenómeno foi descoberto por Alessandro Volta, no fim do século XVIII. É importante que o metal da folha seja diferente do metal da colher; as colheres são geralmente feitas de aço ou de prata. Na nossa língua existem iões positivos e negativos; um dos metais terá uma maior tendência a atrair os iões negativos e no outro metal os iões positivos serão atraídos, criando um fluxo de cargas através dos dois metais. Volta reparou que o mesmo efeito podia ser obtido colocando dois metais diferentes, dentro de um líquido com uma solução química. Algumas combinações de metais produziam melhores resultados. Conseguiu intensificar mais o efeito colocando alternadamente vários discos de cobre e de zinco, separados por discos de papel humedecidos com água salgada; assim construiu a primeira pilha.

Potencial elétrico devido a uma carga puntiforme[editar | editar código-fonte]

Para calcular o potencial elétrico devido a uma carga puntiforme usa-se a fórmula:

V={\frac {K\,Q}{d}}

, sendo

$d\,$ em metros,
$K\,$ é a constante dielétrica do meio e
$Q\,$ a carga geradora.

Como o potencial é uma grandeza escalar, o potencial gerado por várias cargas é a soma algébrica (usa-se o sinal) dos potenciais gerados por cada uma delas como se estivessem sozinhas:

V_{L}={\frac {K\,Q_{1}}{d_{1}}}+{\frac {K\,Q_{2}}{d_{2}}}+{\frac {K\,Q_{3}}{d_{3}}}+{\frac {K\,Q_{4}}{d_{4}}}+{\frac {K\,Q_{5}}{d_{5}}}

Potencial elétrico resultante.

Superfície equipotencial[editar | editar código-fonte]

Superfície equipotencial

Quando uma carga puntiforme está isolada no espaço, ela gera um campo elétrico em sua volta. Qualquer ponto que estiver a uma mesma distância dessa carga possuirá o mesmo potencial elétrico. Portanto, aparece ai uma superfície equipotencial esférica. Podemos também encontrar superfícies equipotenciais no campo elétrico uniforme, onde as linhas de força são paralelas e equidistantes. Nesse caso, as superfícies equipotenciais localizam-se perpendicularmente às linhas de força (mesma distância do referencial). O potencial elétrico e distância são inversamente proporcionais, portanto o gráfico cartesiano V x d é uma assíntota.

Nota-se que, percorrendo uma linha de força no seu sentido, encontramos potenciais elétricos cada vez menores.

Vale ainda lembrar que o vetor campo elétrico é sempre perpendicular à superfície equipotencial, e consequentemente a linha de força que o tangencia também.

V_{A}=V_{B}=V_{C}=V\,

(ver figura ao lado)

Potencial elétrico no eletromagnetismo[editar | editar código-fonte]

No eletromagnetismo, potencial elétrico ou potencial eletrostático é um campo equivalente à energia potencial associada a um campo elétrico estático dividida pela carga elétricade uma partícula-teste. A unidade de medida do SI para o potencial é o volt. Apenas diferenças de potencial elétrico possuem significado físico.

O potencial elétrico gerado por uma carga pontual

q\,

a uma distância

r\,

é, a menos de uma constante arbitrária, dado por:

\phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r}}

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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segunda-feira, 8 de abril de 2019

massa x energia =
x

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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observação: é usado textos da wikipédia para mostrar as modificações com as variáveis do sistema decadimensional e categorial Graceli.

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ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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sábado, 6 de abril de 2019

A Teoria da Informação teve inicialmente como destaque as questões técnicas, sendo uma das primeiras teorias a separar com nitidez a informação da significação. A Teoria da Informação está situada dentro da cibernética, onde a informação se mostra como uma medida probabilística. Esta teoria tem um grande interesse pelo funcionamento dos sinais, pelas transformações energéticas mediante a codificação da mensagem e sua de

codificação. Ela opera com os seguintes conceitos:

ruído;
redundância
entropia;
imprevisibilidade.

Em fontes contínuas, a codificação da informação gera ruído na mensagem, isso se dá pelo fato de que a fonte contínua precisaria de um vasto repertório de símbolos e que, como consequência, necessitaria uma capacidade de transmissão grande e, como é sabido, não existe um canal livre de ruído.

Shannon abordou, também o conceito de redundância é relacionado à entropia no sentido de que a redundância é tudo o que não é fundamental para ser entendido em uma determinada mensagem, ou seja, é entendida como algo complementar. Então é a medida de entropia para que a mensagem atinja a entropia máxima.

A entropia desejada de uma informação é a máxima que é dada pelas probabilidades equivalentes de ocorrer todos os símbolos.

A teoria da informação não estuda uma língua pelo número de símbolos alfabéticos que a compõem, mas sim pela análise à redundância na língua, considerando que o inverso da entropia é a redundância, ou seja, a organização do sistema em questão. Uma língua entrópica dispõe de um vocabulário rico, com palavras diferenciadas, que mostram o poder das combinatórias; uma língua pouco entrópica é pobre e repetitiva.

Em relação a imprevisibilidade, quanto maior for, será menor a chance de apreensão por parte do receptor, pois o receptor depende da ordem em que as mensagens são transmitidas. A imprevisibilidade total é correspondente à informação nula, ou seja, não há informação.

A medida da informação pode ser calculada a partir da fórmula de Hartley (1928):

I(U)=

\log _{b}

(r) ; onde r é o número de resultados possíveis da variável aleatória U e b é a unidade da informação (Por exemplo: Informação binária, b = 2).

Já a medida de entropia, também chamada por Shannon de medida de informação é dada por:

H(U)= - Σ pi

\log _{2}

(pi) ; onde pi é a probabilidade do i-ésimo resultado.

Uma maneira mais simples de medir a entropia é perceber que há duas possibilidades de ocorrência de um evento: p e q, sendo q = 1-p

Então a entropia do sistema é calculado como:

H(U)= - (p

\log _{2}

(p) + q

\log _{2}

(q))

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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observação: é usado textos da wikipédia para mostrar as modificações com as variáveis do sistema decadimensional e categorial Graceli.

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ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

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= entropia reversível

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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domingo, 7 de abril de 2019

O desenvolvimento do método da máxima entropia (ME) ocorreu através de duas linhas de pesquisa: inferência estatística (Bernoulli, Bayes, Laplace, Jeffreys, Cox) e modelagem estatística de problemas em mecânica, física e de informação (Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Shannon).

O objetivo da primeira linha de investigação é a de formular uma teoria/metodologia que permite a compreensão das características gerais (distribuição) de um sistema de informação parcial e incompleto. Na segunda linha de investigação, este mesmo objectivo é expresso na forma de determinar como atribuir valores numéricos (iniciais) das probabilidades quando apenas algumas quantidades globais limitadas (teoricamente) do sistema investigados são conhecidas. O reconhecimento dos objetivos básicos comuns destas duas linhas de pesquisa auxiliou Jaynes (1957)^[1]^[2] no desenvolvimento do seu trabalho clássico, de formalização da máxima entropia. Isto é, a formalização da ME foi baseada na filosofia da primeira linha de investigação e na matemática da segunda linha de investigação.

Jaynes mostrou que maximizar estatisticamente a entropia (mecânica) com a finalidade de revelar o modo como as moléculas de gás estavam distribuídas seria equivalente à simples maximização da entropia (de informação) de Shannon com informação mecânica estatisticamente. O método foi correto para atribuir probabilidades independentemente das especificidades da informação. Esta ideia conduziu a máxima entropia ou à utilização do método da máxima entropia para atribuir probabilidades. Este método tem evoluído para um método mais geral, o método de máxima entropia relativa (MEr), que tem a vantagem de não só atribuir probabilidades, mas atualizá-las quando nova informação é dada sob a forma de restrições sobre os probabilidades.

A ME pode ser aplicada para análise de uma grande variedade de problemas na maioria das disciplinas da ciência. por exemplo, trabalhos sobre a reconstrução de imagem e análise espectral em medicina, física, química, biologia, topografia, engenharia, comunicação e informação, investigação de operações, ciência política e economia (tomografia, imagens de satélite, motores de busca, matriz insumo-produto, métodos tipo GMM, modelagem de dados em econometria); a investigação em estimação e inferência estatística (métodos bayesianos e não bayesianos); e inovações em curso no processamento de informação e de TI.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em Física, a entropia de um sistema é uma medida de sua ‘desordem’. O físico austríaco Ludwig Boltzmann definiu a entropia de um sistema através da seguinte expressão:

S=k\ln \theta

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

em que

k

é uma constante (positiva) de ajuste dimensional e

\theta

é número de estados do sistema. A ‘desordem’ (denotada por

D

) está diretamente relacionada ao número de estados. Então,

S=k\ln D

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Portanto, se

S

mede a desordem,

-S

(uma entropia negativa) mede a ordem do sistema. Uma das mais importantes variantes da equação anterior é a entropia de Shannon, também conhecida como entropia de informação, definida como:^[3]

S(X)=-k\sum _{i=1}^{n}{P_{i}\ln P_{i}}\,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde

S(X)

é a entropia da variável aleatória X, que denota a probabilidade de que X esteja no estado i, k é uma constante de ajuste dimensional, n é o número total de categorias ou estados, e

P_{i}

representa sua respectiva probabilidade. Os valores de

P_{i}

que maximizam

S(X)

são submetidos às condições da informação disponível.

O princípio da máxima entropia é útil explicitamente apenas quando aplicado a informações testáveis. Uma informação é testável se for possível determinar se uma dada distribuição é coerente com ela. Por exemplo, as declarações

O valor esperado da variável X é 2,87

P_{2}+P_{3}>0{,}6

são declarações de informações testáveis.

Dada uma informação testável, o procedimento de máxima entropia consiste em procurar a distribuição de probabilidade de que maximiza a entropia da informação, sujeita às restrições da informação. Este problema de otimização restrita normalmente é resolvido utilizando o método de multiplicadores de Lagrange.

O problema pode ser enunciado como segue: Maximizar

S(X)=-\sum _{i=1}^{n}{P_{i}\ln P_{i}}\,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

com o conjunto de restrições (r):

[Q_{r}]=\sum _{i=1}^{n}{P_{i}Q_{r}(i)}\,

Q_{r}^{m}

onde

r=0,1,2...

que significa que o valor médio de

Q_{r}

é igual a

Q_{r}^{m}

. Para r = 0, temos a condição de normalização, que assegura que

\sum _{i=1}^{n}{P_{i}}=1\,

. Para r ≥ 1,

Q_{r}^{m}

é obtido da informação parcial que se tem do sistema.

Utilizando multiplicadores de Lagrange,

\lambda _{r}

, o problema é maximizar

-\sum _{i=1}^{n}{P_{i}\ln P_{i}}\,

-\sum _{r}{\lambda _{r}Q_{r}(i)}\,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

A solução geral é

P_{i}=e^{-\sum _{r}{\lambda _{r}Q_{r}(i)}\,}

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Propriedades[editar | editar código-fonte]

$S(X)=0$ se e somente se todos os $P_{i}$ são zero, com exceção de um que tem valor unitário. Intuitivamente, essa é a situação de maior certeza. De outra maneira, $S(X)$ é positivo.
Para um dado $n$ , $S(X)=0$ e igual a $\ln(n)$ quando todos os $P_{i}$ são iguais (i.é., $1/n$ ). Contrariamente à situação anterior, esse é o caso de maior incerteza.
Se existem dois eventos, $X$ e $Y$ , com $m$ possibilidades para o primeiro e $n$ para o segundo e $P(i,j)$ é a probabilidade de ocorrência conjunta de $i$ para o primeiro e $j$ para o segundo, a entropia do evento conjunto é:

S(X,Y)=-\sum _{i,j}{P(i,j)\ln P(i,j)}\,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

com

S(X)=-\sum _{i,j}{P(i,j)\sum _{j}{\ln P(i,j)}\,}\,

S(Y)=-\sum _{i,j}{P(i,j)\sum _{i}{\ln P(i,j)}\,}\,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Destas definições segue que:

S(X,Y)\leq S(X)+S(Y)

x

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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Por definição, a entropia condicional de $Y$ é dada por:

S_{x}(Y)=-\sum _{i,j}{P(i,j)\ln P_{i}(j)}\,

x

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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De onde resultam

S(X,Y)=S(X)+S_{x}(Y)

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

S(Y)\geq H_{x}(Y)

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

observação: é usado textos da wikipédia para mostrar as modificações com as variáveis do sistema decadimensional e categorial Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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Matriz categorial de Graceli.

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quarta-feira, 3 de abril de 2019

Em Física, Gradiente de temperatura é uma grandeza utilizada para descrever a direção e a taxa de variação de temperatura em uma área em particular. É uma grandeza expressa em unidades de temperatura por unidades de comprimento. A unidade do Sistema Internacional de Unidades (SI) é kelvin por metro (K/m).^[1] Formalmente, isso é um campo vetorial definido como campo gradiente de um campo escalar. Assumindo que podemos associar um valor de temperatura em cada ponto do espaço tridimensional (x,y,z), existirá uma lei "T" do tipo

T=T(x,y,z):\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}

x

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Se essa função é regular, será possível calcular o gradiente:

{\text{grad}}\,T=\nabla T=\left(\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial x}},{\frac {\partial T}{\partial y}},{\frac {\partial T}{\partial z}}\right)

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

O significado físico de tal grandeza vetorial é o gradiente geral de uma função de várias variáveis: A direção do vetor indica o sentido de maior crescimento de temperatura, enquanto seu módulo indica a intensidade deste crescimento.^[2]

Efeitos no Campo

Se a função T(x,y,z) descreve a distribuição de temperatura de um corpo devido às diferenças de temperatura(suposta finita), dentro deste, o calor flui diretamente das zonas de temperatura mais alta para as zonas de temperatura mais baixa. O gradiente de temperatura apresenta um elemento discriminante: empiricamente, é possível observar que o fluxo de calor é proporcional à norma desse vetor. Uma vez que o fluxo de calor for na direção oposta do gradiente, que aponta na direção do crescimento de temperatura, teremos:

{\dot {Q}}\propto \Vert \nabla T\Vert

x

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A direção do fluxo não necessariamente coincide com aquela do gradiente: essa equivalência exigiria a isotropia das propriedades térmicas do corpo submetido ao gradiente de temperatura. Em geral, a condutividade térmica não será um escalar, mas, sim, um tensor de categoria 2. A direção do fluxo será, então, dada por:

\mathbf {u} _{T}={\dfrac {k_{\mu \nu }\nabla T}{\Vert k_{\mu \nu }\nabla T\Vert }}

x

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Na condução térmica, portanto, é considerado esse novo vetor:

k_{\mu \nu }\nabla T

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

que a integral ao longo de uma superfície fornece o fluxo de calor através dela.^[2]

Condução térmica[editar | editar código-fonte]

Gradiente de temperatura relacionado à condução térmica

Ao mantermos uma extremidade de um bastão a uma alta temperatura e a outra extremidade a uma baixa temperatura, ocorrerá a condução de energia através do bastão, partindo do mais quente para o mais frio. Numa situação estacionária, isso também ocorre, porém, a variação de temperatura é linear. Isso significa que há uma taxa de variação de temperatura, dT/dx, ao longo da barra, chamada de gradiente de temperatura, o que, pela Lei de Fourier

q_x = - k \frac{d T}{d x}

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde (incluindo as unidades SI)

q_{x}

é o fluxo de calor [W·m⁻²]

k

é a condutividade térmica do material [W·m⁻¹·K⁻¹]

{\frac {dT}{dx}}

é, exatamente, o gradiente de temperatura [K·m⁻¹].

^[3]: ^[4]

Clima e temperatura[editar | editar código-fonte]

Diferenças de temperatura do ar entre diferentes locais são fundamentais na previsão do tempo e clima. A absorção de luz solar na superfície planetária, ou próxima a ela, aumenta o gradiente de temperatura e pode resultar em ´convecção (importante processo na formação das nuvens, normalmente associada a precipitação. Similarmente, em uma base global e anual, as dinâmicas da atmosfera e dos oceanos podem ser entendidas como uma tentativa de reduzir a grande diferença de temperatura entre os pólos e o equador, redistribuindo as massas de ar e água quentes e frias. ^[1] Essa diferença de temperatura é conhecida como gradiente de temperatura global. .^[5] Frentes meteorológicas são regiões em que o gradiente de temperatura horizontal pode atingir valores relativamente altos, já que, estas são limites entre massas de ar com propriedades bastante distintas. Claramente, o gradiente de temperatura pode mudar substancialmente durante o tempo como resultado de aquecimento ou resfriamento diurno ou sazonal, por exemplo. Isso acontece principalmente durante uma inversão térmica. Outros lugares em que os gradientes de temperatura notáveis podem ser sentidos incluem entradas e saídas de ambientes com ar-condicionado durante um dia quente ou entrada de cavernas e outras áreas fechadas ou com pouca ventilação. ^[1] Existe ainda o gradiente de temperatura vertical, que expressa a variação de temperatura conforme a altitude.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

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\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

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Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

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domingo, 7 de abril de 2019

Em teoria das probabilidades e Teoria da Informação, a informação mútua (em inglês MI de en:Mutual information) de duas variáveis aleatórias é a medida da dependência mútua entre as duas variáveis. Mais especificamente, a informação mútuaquantifica a informação (em unidades como shannons, mais conhecidos como bits) que uma variável aleatória contém acerca da outra. O conceito de informação mútua esta intrinsicamente ligado ao da Entropia de uma variável aleatória, uma noção fundamental da teoria da informação, que define a "quantidade de informação" contida em uma variável aleatória.

Não sendo limitado a variáveis aleatória com valores reais como o coeficiente de correlação, a MI é mais genérica e determina quão similar a distribuição conjunta p(X,Y) está dos produtos das distribuições marginais p(X)p(Y). MI é o valor esperado da pointwise mutual information (PMI).

Formalmente a informação mútua^[1] de duas variáveis aleatórias discretas, X e Y pode ser definida como:

I(X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)},

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

aonde p(x,y) é a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y, e

p(x)

p(y)

são funções de probabilidade de distribuição marginal de X e Y, respectivamente. No caso de variáveis aleatórias contínuas, a somatória é substituída por uma integral dupla definida:

I(X;Y)=\int _{Y}\int _{X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}\;dx\,dy,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

aonde p(x,y) é agora a função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y, p(x) e p(y) são funções de densidade de probabilidade marginal de X e Y, respectivamente.

Se usarmos o logarítmo de base 2 a unidade da informação mútua será bits.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Intuitivamente, a informação mútua mede a informação compartilhada entre X e Y: ela mede quanto o conhecimento de uma destas variáveis reduz a incerteza sobre a outra. Por exemplo, se X e Y são independentes, então conhecer X não fornece nenhuma informação sobre Y e vice versa, então a informação mútua delas será zero. No outro extremo, se X for uma função determinística de Y e Y for uma função determinística de X então toda a informação contida em X é compartilhada por Y: conhecer X determina o valor de Y e vice versa. Como resultado, neste caso a informação mútua é o mesmo que a incerteza contida em Y (ou X) sozinha, chamada de entropia de Y (ou X). Além disto, esta informação mútua é a mesma que a entropia de X e também que a entropia de Y. (Um caso bem especial disto é quando X e Y são a mesma variável aleatória.)

Informação mútua é uma medida da dependência inerente expressada pela distribuição de probabilidade conjunta de X e Y relativas à distribuição conjuntas de X e Y assumindo que sejam independentes. Informação mútua portanto mede a dependência no sentido que: I(X; Y) = 0 se e somente se X e Y são variáveis aleatórias independentes. Isto é fácil de ver num dos sentidos: se X e Y são independentes, então p(x,y) = p(x)p(y), e portanto:

\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}=\log 1=0.

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Além disto, a informação mútua é não-negativa (i.e. I(X;Y) ≥ 0; veja abaixo) e uma função simétrica (i.e. I(X;Y) = I(Y;X)).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

•

I(X;Y)\geq 0

;

•

I(X;Y)=0

se, e somente se, X e Y forem variáveis aleatórias independentes;

•

I(X;Y)=I(Y;X)

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x

sistema de dez dimensões de Graceli.

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Dada a forte relação entre Informação Mútua e Entropia, temos os seguintes corolários:

•

0\leq H(X|Y)\leq H(X)

0\leq H(Y|X)\leq H(Y)

;

•

H(X,Y)\leq H(X)+H(Y)

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x

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Relação com outras quantidades[editar | editar código-fonte]

Não-negatividade[editar | editar código-fonte]

Usando a Desigualdade de Jensen na definição da informação mútua podemos mostrar que I(X;Y) é não-negativa, i.e.

I(X;Y)\geq 0

x

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Relação com a entropia condicional e conjunta[editar | editar código-fonte]

Informação mútua pode ser expressada equivalentemente como

{\begin{aligned}I(X;Y)&{}\equiv \mathrm {H} (X)-\mathrm {H} (X|Y)\\&{}\equiv \mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (Y|X)\\&{}\equiv \mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (X,Y)\\&{}\equiv \mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (X|Y)-\mathrm {H} (Y|X)\end{aligned}}

x

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aonde

\mathrm {H} (X)

\mathrm {H} (Y)

são entropias marginais, Η(X|Y) e Η(Y|X) são as entropias condicionais, e Η(X,Y) é a entropia conjunta de X e Y. Note a analogia da união, diferença e intersecção de dois conjuntos, conforme ilustrado no diagrama de Venn. Em termos de canais de comunicação nos quais a saída

Y

é uma versão ruídosa da entrada

X

, essas relações estão resumidas na figura abaixo.

Relações entre as quantidades da teoria da informação.

Como I(X;Y) é não-negativa, consequentemente,

\mathrm {H} (X)\geq \mathrm {H} (X|Y)

. Aqui temos a dedução detalhada de I(X;Y) = Η(Y) – Η(Y|X):

{\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}}\\&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)}}-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x,y}p(x)p(y|x)\log p(y|x)-\sum _{x,y}\log p(y)p(x,y)\\&{}=\sum _{x}p(x)\left(\sum _{y}p(y|x)\log p(y|x)\right)-\sum _{y}\log p(y)\left(\sum _{x}p(x,y)\right)\\&{}=-\sum _{x}p(x)\mathrm {H} (Y|X=x)-\sum _{y}p(y)\log p(y)\\&{}=-\mathrm {H} (Y|X)+\mathrm {H} (Y)\\&{}=\mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (Y|X).\\\end{aligned}}

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

As provas das outras identidades acima são similares.

Intuitivamente, se a entropia H(Y) é considerada como uma medida da incerteza sobre uma variável aleatória, então H(Y|X) é uma medida do quanto X não diz sobre Y. Isto é "a quantidade de incerteza restando sobre Y depois que X é conhecido", e então o lado direito da primeira dessas igualdades pode ser lido como "a quantidade de incerteza em Y, menos a quantidade de incerteza em Y que sobra após X ser conhecido", que é equivalente à "quantidade de incerteza em Y que é removida por conhecer X". O que corrobora o sentido intuitivo da informação mútua como a quantidade de informação (ou seja, redução da incerteza) que conhecer qualquer variável produz sobre a outra.

Note que no caso discreto H(X|X) = 0 e portanto Η(X) = I(X;X). Então Thus I(X;X) ≥ I(X;Y), e pode-se formular o princípio básico que uma variável contém pelo menos tanta informação sobre sí mesma quanto qualquer outra variável pode fornecer.

observação: é usado textos da wikipédia para mostrar as modificações com as variáveis do sistema decadimensional e categorial Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

quarta-feira, 3 de abril de 2019

Em mecânica estatística clássica, o teorema da equipartição é uma fórmula geral que relaciona a temperatura de um sistema com a sua energia média. O teorema da equipartição é também conhecido como lei da equipartição, equipartição de energia ou simplesmente equipartição. A ideia central da equipartição é a de que, em equilíbrio térmico, a energia é partilhada de maneira igual entre as suas várias formas. Por exemplo, a energia cinética média no movimento translacional de uma molécula deve ser igual à energia cinética média do seu movimento rotacional.

Da aplicação do teorema da equipartição surgem predições quantitativas. Tal como no teorema do virial, dá as energias cinética e potencial totais do sistema a uma dada temperatura, a partir da qual é possível calcular a capacidade térmica do sistema. No entanto, a equipartição também dá os valores médios dos componentes individuais da energia, tal como a energia cinética de uma partícula específica ou a energia potencial de uma única mola. Por exemplo, prediz que cada molécula num gás perfeitopossui uma energia cinética média com um valor de (3/2)k_BT, em equilíbrio térmico, onde k_B é a constante de Boltzmann e T é a temperatura. De uma maneira mais geral, o teorema pode ser aplicado a qualquer sistema físico clássico em equilíbrio termodinâmico, não importando o seu grau de complexidade. O teorema pode ser utilizado para derivar a lei dos gases ideais e a lei de Dulong-Petit para os calores específicos dos sólidos. Também pode ser utilizado para prever as propriedades das estrelas, até mesmo de anãs brancas e estrelas de neutrões, dado que a sua validade se estende a situações em que efeitos relativistas são considerados.

Apesar de o teorema da equipartição proporcionar predições muito precisas em certas circunstâncias, isto não é assim quando os efeitos quânticos são significativos, nomeadamente quando estão em causa temperaturas suficientemente baixas. A equipartição é válida somente quando a energia térmica k_BT é muito maior que o espaçamento entre os níveis de energiaquânticos. Quando a energia térmica é menor que o espaçamento entre níveis de energia quânticos, num grau de liberdadeespecífico, a energia média e a capacidade térmica deste grau de liberdade são menores que os valores preditos pela equipartição. Diz-se que tal grau de liberdade está "congelado". Por exemplo, o calor específico de um sólido diminui a baixas temperaturas dado que vários tipos de movimentos se congelam em vez de permanecerem constantes como prevê a equipartição. Estas reduções nos calores específicos foram dos primeiros sinais notados pelos físicos do século XIX no sentido de que a física clássica estaria incorrecta e que era necessário avançar no desenvolvimento de novas teorias físicas. Juntamente com outras evidências, a falha da equipartição no campo da radiação electromagnética — também conhecida como catástrofe ultravioleta — induziu Albert Einstein a sugerir que a luz estava quantizada em fotões, uma hipótese revolucionária que incentivou o desenvolvimento da mecânica quântica e da teoria quântica de campos.

Conceito básico e exemplos simples

Ver artigo principal: Energia cinética e Capacidade térmica

Figura 2. Funções de densidade de probabilidade da velocidade molecular de quatro gases nobres a uma temperatura de 298,15 K (25 °C). Os quatro gases são hélio (⁴He), néon (²⁰Ne), argon (⁴⁰Ar) y xénon(¹³²Xe); os subíndices indicam os seus números de massa. Estas funções de densidade de probabilidade têm dimensões de probabilidade vezes o inverso da velocidade; dado que a probabilidade é adimensional, as mesmas expressam-se em unidades de segundos por metro.

A palavra "equipartição" significa "partilha por igual", derivando do latim equi da primeira parte da palavra, æquus ("igual ou plano"), e "partição" da segunda parte da palavra, partitionem ("divisão, parte").^[1]^[2]

O conceito original da equipartição era a de que a energia cinética total de um sistema é compartilhada em partes iguais entre todas as partes independentes, em média, uma vez o sistema houvesse alcançado o equilíbrio térmico. A equipartição também faz predições quantitativas de ditas energias. Por exemplo, prediz que cada átomo de um gás nobre, em equilíbrio térmico à temperatura T, possui uma energia cinética translacional média de (3/2)k_BT, onde k_B é a constante de Boltzmann. Portanto, para uma mesma temperatura, os átomos mais pesados do xenón terão uma velocidade média menor que a dos átomos de hélio, que são mais leves. A Figura 2 mostra a distribuição de Maxwell-Boltzmann para as velocidades dos átomos nos quatro gases nobres.

É importante destacar neste exemplo, que a energia cinética depende de forma quadrática em relação à velocidade. O teorema da equipartição mostra que, em equilíbrio térmico, todo o grau de liberdade (como por exemplo, uma componente da posição ou velocidade de una partícula) que possui somente uma dependência quadrática na energia possui uma energia média de ½k_BT e portanto contribui ½k_B para a capacidade térmica do sistema. Isto possui numerosas aplicações.

Energia de translação e gases ideais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Gás ideal

A energia cinética (newtoniana ou clássica) de uma partícula de massa m e velocidade v é dada pela expressão:

H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde v_x, v_y e v_z são as componentes cartesianas da velocidade v. H é o hamiltoniano, e portanto será utilizado como símbolo da energia dado que a mecânica de Hamiltondesempenha um papel destacado na forma mais geral do teorema da equipartição.

Como a energia cinética é quadrática nos componentes da velocidade, por equipartição destas três componentes, cada uma contribui com ½k_BT para a energia cinética média em equilíbrio térmico. Portanto, a energia cinética da partícula é (3/2)k_BT, como no caso do exemplo dos gases nobres discutido previamente.

De forma mais geral, num gás ideal, a energia total consiste exclusivamente de energia cinética de translação: já que se assume que as partículas não possuem graus internos de liberdade e se movem de forma independente umas das outras. A equipartição portanto prediz que a energia total média de um gás ideal com N partículas é (3/2) N k_BT.

Portanto, a capacidade térmica de um gás é (3/2) N k_B e a capacidade térmica de um mol de partículas de dito gás é (3/2)N_Ak_B=(3/2)R, onde N_A é o número de Avogadro e R é a constante universal dos gases perfeitos. Como R ≈ 2 cal/(mol·K), a equipartição prediz que a capacidade térmica molar de um gás ideal é aproximadamente 3 cal/(mol·K). Esta predição foi confirmada experimentalmente^[3].

A energia cinética média também permite calcular a raiz da velocidade quadrática média v_rms das partículas de gás, como:

v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},

x

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onde M = N_Am é a massa de um mol de partículas de gás. Este resultado é muito útil para aplicações tais como a Lei de Graham de efusão, da qual se deriva um método para enriquecer Urânio.^[4]

Energia rotacional e agitação molecular em solução[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Velocidade angular e Difusão rotacional

Um exemplo similar é o do caso de uma molécula que roda e cujos momentos de inercia principais são I₁, I₂ e I₃. A energia rotacional de dita molécula é dada por:

H^{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),

x

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onde ω₁, ω₂, e ω₃ são os componentes da velocidade angular. Seguindo um raciocínio similar ao utilizado no caso da translacção, a equipartição implica que, em equilíbrio térmico, a energia média de rotação de cada partícula é (3/2)k_BT. De forma similar, o teorema da equipartição permite calcular a velocidade angular média (mais precisamente, a raiz média quadrática) das moléculas.^[5]

A rotação das moléculas rígidas — ou seja, as rotações aleatórias de moléculas em solução — joga um papel de destaque nas relaxações observadas por meio de ressonância magnética nuclear, particularmente por ressonância magnética nuclear de proteínas e por acoplamento dipolar residual.^[6] A difusão rotacional pode também ser observada mediante outras técnicas biofísicas tais como a anisotropia fluorescente, a birrefringência de fluxo e a espectroscopia dieléctrica.^[7]

Energia potencial e osciladores harmónicos[editar | editar código-fonte]

A equipartição aplica-se tanto à energia potencial com à energia cinética. Exemplo importante disto são os osciladores harmónicos tais como as molas, que possuem una energia potencial quadrática:

H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},\,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde a constante a descreve a rigidez da mola e q é o desvio em relação ao equilíbrio. Se dito sistema unidimensional possui uma massa m, então a sua energia cinética H^kin é ½mv² = p²/2m, com v e p = mv a velocidade e o momento do oscilador, respectivamente. Combinando estes termos obtém-se a energia total^[8]:

H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}aq^{2}.

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Deste modo, a equipartição implica que, em equilíbrio térmico, o oscilador possui uma energia média:

\langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B}T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde os colchetes angulares

\left\langle \ldots \right\rangle

representam a média da quantidade contida entre eles,^[9].

Este resultado é válido para todo o tipo de osciladores harmónicos, como por exemplo num pêndulo, numa molécula que vibra ou num oscilador electrónico passivo. Existem numerosos sistemas que contêm este tipo de osciladores; mediante a equipartição, cada um destes osciladores recebe uma energia média total k_BT e portanto contribui k_B para a capacidade térmica do sistema. Esta última relação pode ser usada para obter a fórmula para o ruído de Johnson–Nyquist ou "ruído térmico"^[10] e a Lei de Dulong-Petit para a capacidade térmica molar dos sólidos. Esta última aplicação foi especialmente relevante na história da equipartição.

Capacidade térmica dos sólidos[editar | editar código-fonte]

Figura 3. Os átomos numa rede cristalina podem vibrar em redor das suas posições de equilíbrio na rede. Estas vibrações, em grande medida representam a capacidade térmica dos dielétricos cristalinos; com os electrões metálicostambém contribuindo para a capacidade térmica.

Uma aplicação importante do teorema da equipartição é o do cálculo da capacidade térmica de um sólido cristalino. Cada átomo neste tipo de sólido pode oscilar em três direcções independentes, pelo que se pode pensar o sólido como sendo um sistema de 3N osciladores harmónicos simples independentes, onde N é o número de átomos na rede. Dado que cada oscilador harmónico possui uma energia média k_BT, a energia total média do sólido é 3Nk_BT, e a sua capacidade térmica é 3Nk_B.

Tomando o número de Avogadro N_A, e utilizando a relação R = N_Ak_B entre a constante dos gases R e a constante de Boltzmann k_B, encontra-se uma explicação para a lei de Dulong-Petit relativa às capacidades térmicas molares dos sólidos, que estabelece que a capacidade térmica por mol de átomos na rede é 3R ≈ 6 cal/(mol·K).

No entanto, esta lei não reproduz os dados experimentais a baixas temperaturas, devido à presença de efeitos quânticos; também é inconsistente com a terceira lei da termodinâmica, de acordo com a qual a capacidade térmica molar de qualquer substância deve tender a zero quando a temperatura se aproxima do zero absoluto.^[10] Uma teoria mais precisa, que incorpora efeitos quânticos, foi desenvolvida por Albert Einstein (1907) e Peter Debye (1911).^[11]

É possível representar outros numerosos sistemas físicos como conjuntos de osciladores acoplados. Os movimentos destes osciladores pode-se decompor em modos normais, similares aos modos de vibração de uma corda de piano ou das ressonâncias de um tubo de órgão. Por outra lado, a equipartição muitas vezes não funciona em ditos sistemas, porque não existe intercâmbio de energia entre os modos normais. Num caso extremo, os modos são independentes e portanto as suas energias se conservam de forma independente. Isto mostra que algum tipo de mistura de energias, chamada ergodicidade, é importante para que seja válida a lei da equipartição.

Sedimentação de partículas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Sedimentação e Equação de Mason-Weaver

A energia potencial nem sempre possui uma dependência quadrática em relação à posição. No entanto, o teorema da equipartição também demonstra que se um grau de liberdade x contribui somente em uma fracção x^s (para um número real fixo s) para a energia, então a energia média em equilíbrio térmico dessa parte é k_BT/s.

Esta extensão possui uma aplicação no estudo de sedimentação de partículas sob acção da força de gravidade.^[12] Por exemplo, o enevoado que por vezes é observado na cerveja pode ser causada por aglutinações de proteínas que dispersam a luz.^[13] Como decorrer do tempo, estas aglutinações deslocam-se para baixo por efeito da força da gravidade, produzindo um aumento do enevoamento próximo da zona inferior do recipiente comparado com a zona superior. No entanto, mediante um processo que opera em direcção contrária, as partículas também difundem em sentido ascendente, em direcção à parte superior do recipiente. Uma vez alcançado o equilíbrio, o teorema da equipartição pode ser utilizado para determinar a posição média de una aglutinação particular de massa flutuante m_b. Para o caso de uma garrafa de cerveja de altura infinita, a energia potencial gravitacional é:

H^{\mathrm {grav} }=m_{b}gz\,,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde z é a altura da aglutinação de proteínas na garrafa e g é a aceleração da gravidade. Dado que s=1, a energia potencial média de um aglutinação de proteínas é k_BT. Portanto, uma aglutinação de proteínas com uma massa flutuante de 10 MDa (aproximadamente do tamanho de um vírus) produziria um enevoamento com uma altura média de aproximadamente 2 cm, em equilíbrio. O processo de sedimentação até se estabelecer um equilíbrio é descrito pela equação de Mason-Weaver.^[14]

História[editar | editar código-fonte]

Este artigo utiliza a unidade cal/(mol·K) para o calor específico molar em lugar da do sistema SI, porque permite obter maior precisão em magnitudes de um só dígito.
Para uma conversão aproximada à correspondente unidade SI de J/(mol·K), tais valores devem ser multiplicados por 4,2 J/cal.

A equipartição da energia cinética foi proposta inicialmente em 1843, e de forma mais acabada em 1845, por John James Waterston. ^[15] Em 1859, James Clerk Maxwell postula que a energia cinética calórica de um gás era dividida em partes iguais entre a energia linear e rotacional.^[16] Em 1876, Ludwig Boltzmann expandiu o seu princípio demonstrando que a energia média era repartida em partes iguais entre todas as componentes independentes de movimento de um sistema.^[17]^[18] Boltzmann aplicou o teorema da equipartição para desenvolver uma explicação teórica da lei de Dulong–Petit sobre a capacidade calorífica específica dos sólidos.

Figura 4. Diagrama esquemático do calor específico molar de um gás diatómico em função da temperatura. Coincide com o valor (7/2)R predito pela equipartição a altas temperaturas (onde R é a constante do gás), mas diminui a (5/2)R e logo a (3/2)R a baixas temperaturas, na medida em que os modos de movimento de vibração e rotação se "congelam". A falha no teorema da equipartição conduziu a um paradoxo que sé pode ser resolvido mediante a mecânica quântica. Para a maioria das moléculas, a temperatura de transição T_rot é muito menor que a temperatura ambiente, enquanto que T_vib pode ser umas dez vezes maior ou mais. Um exemplo é o monóxido de carbono, CO, para o qual T_rot ≈ 2.8 K e T_vib ≈ 3103 K. Para moléculas com forças de união entre átomos muito débeis ou muito fortes, T_vib pode ser cerca da temperatura ambiente (aproximadamente 300 K); por exemplo, T_vib ≈ 308 K para o gás de iodo, I₂.^[19]

A história do teorema da equipartição está entrelaçada com a da capacidade calorífica molar, ambas foram estudadas durante e século XIX. Em 1819, os franceses Pierre Louis Dulong e Alexis Thérèse Petit descobrem que os calores específicos molares dos sólidos a temperatura ambiente eram quase idênticos, uns 6 cal/(mol·K).^[20] Esta lei foi utilizada por muitos anos como a técnica para medir massa atómica.^[11] No entanto, estudos posteriores por James Dewar e Heinrich Friedrich Weber mostraram que a lei de Dulong-Petit só é válida a altas temperaturas;^[21] a baixas temperaturas, ou para sólidos excepcionalmente duros tais como o diamante, o calor específico era menor.^[22]

Medições experimentais do calor específico dos gases também despertaram dúvidas com respeito à validade do teorema da equipartição. O teorema prediz que a capacidade calorífica molar de gases monoatómicos simples deveria ser de uns 3 cal/(mol·K), enquanto que a de gases diatómicos deveria ser de uns 7 cal/(mol·K).

Esta predição foi confirmada mediante experiências,^[3] mas encontrou-se que as capacidades caloríficas molares de gases diatómicos possuem valores próximos a 5 cal/(mol·K),^[23] que desce a uns 3 cal/(mol·K) a muito baixas temperaturas.^[24] Maxwell observou, em 1875, que a discrepância entre as experiências e o teorema da equipartição era ainda pior que o que sugerem estes valores;^[25] dado que os átomos são formados por partículas, seria de esperar que a energia calórica contribui também para aumentar o movimento destas partes internas, fazendo que os calores específicos preditos para gases monoatómicos e diatómicos fossem maiores que 3 cal/(mol·K) e 7 cal/(mol·K), respectivamente.

Uma terceira discrepância é o valor do calor específico dos metais.^[26] De acordo com o modelo clássico de Drude, os electrões metálicos comportam-se de forma similar a um gás quase ideal, e portanto deveriam contribuir com (3/2) N_e k_B para a capacidade calorífica segundo o teorema de equipartição, onde N_e é o número de electrões. No entanto, comprovou-se experimentalmente que os electrões contribuem em muito pequena medida para a capacidade calorífica: as capacidades caloríficas de muitos materiais condutores e isolantes são praticamente iguais.^[26]

Propuseram-se várias explicações para a falha do teorema da equipartição em reproduzir as capacidades caloríficas molares. Boltzmann defendia o seu teorema da equipartição já que considerava que a sua dedução era correcta, mas era da opinião que talvez os gases não se encontrassem em equilíbrio térmico por causa da sua interacção com o éter.^[27] Lord Kelvin sugeriu que a derivação do teorema da equipartição deviam estar incorrectos, uma vez que discordavam com as experiências, mas não soube explicar a causa.^[28] Lord Rayleigh, por sua vez, lançou a ideia que o teorema da equipartição e a suposição experimental sobre o equilíbrio térmico eram ambas correctas; para resolver o problema, ele postulou a necessidade de contar com um princípio novo que providenciaria uma "saída da simplicidade destrutiva" do teorema da equipartição.^[29] Albert Einstein encontrou dita solução, ao mostrar, em 1907, que estas anomalias no calor específico se deviam a efeitos quânticos, especificamente a quantização de la energia nos modos elásticos do sólido.^[30] Einstein utilizou a falha do teorema da equipartição para argumentar sobre a necessidade de contar com uma nova teoria quântica da matéria.^[11] As medições experimentais realizadas por Nernst, em 1910, sobre calores específicos a baixas temperaturas^[31] serviram de respaldo para a teoria de Einstein, tendo levado à aceitação ampla da teoria quântica entre os físicos.^[32]

Formulação geral do teorema da equipartição[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Coordenadas generalizadas, Mecânica hamiltoniana, Conjunto microcanónico e Conjunto canónico

A forma mais geral do teorema da equipartição^[5]^[9]^[12] estabelece que sob suposições adequadas (ver parágrafos subsequentes), um sistema físico com uma função de energiahamiltoniana H e graus de liberdade x_n, satisfaz a seguinte fórmula de equipartição em equilíbrio térmico para todos os índices m e n:

\!{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T.

x

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Onde δ_mn é o delta de Kronecker, que toma o valor unitário se m=n e o valor nulo em todos os outros casos. Os parêntesis

\left\langle \ldots \right\rangle

podem-se referir tanto à média de período prolongado de tempo de um sistema, ou mais comummente, à média do conjunto no espaço de fases. As suposições de ergodicidade que estão implícitas no teorema implicam que estes dois tipos de média coincidem, e portanto, ambos têm sido utilizados para calcular as energias internas de sistemas físicos complexos.

O teorema geral da equipartição vale tanto para o conjunto microcanónico,^[9] quando a energia total do sistema é constante, como também para o conjunto canónico,^[5]^[33]quando o sistema está acoplado a um banho térmico com o qual se dá intercâmbio de energia. A expressão para a fórmula geral é apresentada em secções posteriores deste artigo.

A fórmula geral é equivalente às seguintes expressões:

${\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T$ para todo o n.
${\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=0$ para todo o m≠n.

Se um grau de liberdade x_n aparece somente como um termo quadrático a_nx_n² num hamiltoniano H, então a primeira fórmula implica que:

k_{B}T={\Bigl \langle }x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=2\langle a_{n}x_{n}^{2}\rangle ,

x

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que é o dobro da contribuição que este grau de liberdade aporta para energia média

\langle H\rangle

. Portanto, o teorema da equipartição para sistemas com energias quadráticas é facilmente dedutível a partir da fórmula geral. Um argumento similar aplica-se às energias de forma a_nx_n^s, onde o 2 é substituído por s.

Os graus de liberdade x_n são coordenadas no espaço de fase do sistema e portanto comummente subdivididas em coordenadas de posição generalizadas q_k e coordenadas de momento generalizadas p_k, onde p_k é o momento conjugado para q_k. Neste caso, a fórmula 1 significa que para todo o k,

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Utilizando as equações da mecânica hamiltoniana,^[8] resultam as seguintes fórmulas:

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

A fórmula 2 estabelece adicionalmente que as médias

{\Bigl \langle }q_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle },

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

são todas zero para j≠k.

Relação com o teorema do virial[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teorema do virial, Coordenadas generalizadas e Mecânica hamiltoniana

O teorema geral da equipartição é uma extensão do teorema do virial (proposto em 1870^[34]), que estabelece que:

{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle },

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde t é o tempo.^[8] Duas diferenças importantes são que o teorema do virial relaciona média somadas em lugar de médias individuais, entre si, e não as associa com a temperatura T. Outra diferença é que nas derivações tradicionais do teorema do virial utilizam-se médias sobre o tempo, enquanto que aquelas baseadas no teorema da equipartição usam médias sobre o espaço de fase.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Lei dos gases ideais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Gás ideal e Lei dos gases ideais

Os gases ideais dão um exemplo importante da aplicação do teorema da equipartição. A fórmula, em dito caso, resulta ser:

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m}}\langle p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aligned}}

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

para a energia cinética média de uma partícula, o teorema da equipartição pode ser utilizado para obter a lei dos gases ideais da mecânica clássica.^[5] Se q = (q_x, q_y, q_z) e p = (p_x, p_y, p_z) são os vectores de posição e de momento (quantidade de movimento) de uma partícula do gás, e F é a força líquida sobre a partícula, então:

{\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigr \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned}}

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde a primeira igualdade é a segunda lei de Newton, e a segunda linha utiliza as equações de Hamilton e a fórmula de equipartição. Somando num sistema de N partículas, obtém-se:

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }.

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Figura 5. A energia cinética de uma molécula específica pode flutuar de forma ampla, mas o teorema da equipartição permite calcular a sua energia média, considerando a temperatura a que se encontra. O teorema da equipartição também permite deduzir a lei dos gases ideais, uma equação que relaciona a pressão, volume e temperatura do um gás. (Neste diagrama, cinco moléculas são de cor vermelha para permitir seguir o seu movimento, mas tal cor não possui nenhum outro significado.)

Devido à terceira lei de Newton e à hipótese de gás ideal, a força líquida sobre o sistema é a força exercida pelas paredes do recipiente, e esta força é dada pela pressão P do gás. Portanto:

-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P\oint _{\mathrm {superficie} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} ,

x

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onde dS é o elemento infinitesimal de área ao longo das paredes do recipiente. Dado que a divergência do vector posição qé:

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Aplicando o Teorema da Divergência, resulta:

P\oint _{\mathrm {superficie} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} =P\int _{\mathrm {volumen} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde dV é um volume infinitesimal dentro do recipiente e V é o volume total do recipiente.

Agrupando estas igualdades, obtém-se:

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=3PV,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

o qual imediatamente implica a lei dos gases ideais para N partículas:

PV=Nk_{B}T=nRT,\,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde n=N/N_A é o número de mol de gás e R=N_Ak_B é a constante do gás.

Apesar de a equipartição providenciar uma simples derivação da lei dos gases ideais e da energia interna, o mesmo resultado pode ser obtido por um método alternativo usando a Função de partição.^[35]

Gases diatómicos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Problema dos dois corpos, Rotor rígido e Oscilador harmónico

Um gás diatómico pode ser modelado como duas massas, m₁ e m₂, unidas por uma mola com rigidez a, sistema a que pode dado o nome de aproximação do rotor rígido/oscilador harmónico.^[19] A energia clássica deste sistema é:

H={\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde p₁ e p₂ são os momentos dos dois átomos, e q é o desvio em relação ao seu valor de equilíbrio da distância de separação interatómica. Cada grau de liberdade da energia é quadrático e, portanto deve contribuir com ½k_BT para a energia total média, e ½k_B para a capacidade térmica. Portanto, o modelo prediz que a capacidade térmica de um gás com N moléculas diatómicas é 7N • ½k_B: cada um dos momentos p₁ e p₂ contribui com três graus de liberdade, e a extensão q contribui com o sétimo. Donde se deduz que a capacidade térmica de um mol de moléculas diatómicas sem outros graus de liberdade adicionais deveria ser (7/2)N_Ak_B=(7/2)R e, portanto, a capacidade térmica predita deveriam ser aproximadamente 7 cal/(mol·K). No entanto, os valores das capacidades térmicas de gases diatómicos, medidos em laboratório, são aproximadamente 5 cal/(mol·K)^[23] e descendo até 3 cal/(mol·K) a muito baixas temperaturas.^[24]Eucken, A (1912). «Die Molekularwärme des Wasserstoffs bei tiefen Temperaturen (The molecular specific heat of hydrogen at low temperatures)». Sitzungsberichte der königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften (em alemão). 1912: 141–151</ref> Esta falta de concordância entre a predição do teorema da equipartição e o valor experimental da capacidade térmica molar não pode ser explicada através do uso de um modelo mais complexo da molécula, dado que agregar mais graus de liberdade só poderia aumentar a capacidade térmica predita, e não diminuí-la.^[25] Esta discrepância foi a evidência fundamental para demonstrar a necessidade de desenvolver uma teoria quântica da matéria.

Gases ideais em casos relativísticos extremos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Relatividade especial, anã branca e Estrela de neutrões

Figura 6. Imagem da Nebulosa do Caranguejo, que é uma combinação de imagens de raios X e ópticas. No centro da nebulosa encontra-se uma estrela de neutrões que roda rapidamente e que possui uma massa que é uma vez e meia a massa do Sol, mas com um diâmetro de apenas 25 km. O teorema da equipartição permite fazer previsões sobre as propriedades de dito tipo de estrelas de neutrões.

A equipartição foi utilizada acima para derivar a lei dos gases ideais clássica a partir dos conceitos da mecânica newtoniana. No entanto, os efeitos relativísticos tornam-se mais dominantes em alguns sistemas, como é o caso das anãs brancas e das estrelas de neutrões,^[9] e como tal, as equações dos gases ideais devem ser modificadas. O teorema da equipartição oferece uma forma útil para derivar as leis para um gás ideal em casos relativísticos extremos.^[5] Nestes casos, a energia cinética de uma partícula relativística é dada pela fórmula:

H^{\mathrm {kin} }\approx cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.

x

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Realizando a derivada de H em relação à componente p_x do momento, obtém-se a fórmula:

p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}=c{\frac {p_{x}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}

x

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e de forma similar para os componentes p_y e p_z. Somando os três componentes, resulta:

{\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\biggl \langle }c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}{\biggr \rangle }\\&={\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }\\&=3k_{B}T\end{aligned}}

x

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onde a última igualdade surge da aplicação da fórmula de equipartição. Portanto, a energia total média de um gás em casos relativísticos extremos, é o dobro do que acontece num caso não relativístico: para N partículas é 3 N k_BT.

Gases não ideais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Expansão do virial e Coeficiente do virial

Num gás ideal, supõe-se que as partículas interagem somente mediante colisão. O teorema da equipartição pode ser utilizado para obter a energia e pressão de "gases não ideais", nos quais as partículas também interagem entre si mediante forças conservativas cujo potencial U(r) depende somente da distância r entre as partículas.^[5] Esta situação pode ser descrita analisando primeiro o caso de uma só partícula de gás, e aproximando para o resto do gás através de uma distribuição simétrica esférica. É então costume introduzir o conceito de uma função distribuição radial g(r) tal que a densidade de probabilidade de encontrar outra partícula a uma distância r da partícula seja 4πr²ρ g(r), onde ρ=N/V é a densidade média do gás.^[36] De onde se deduz que a energia potencial média associada à interacção da partícula sob estudo, com o resto do gás, é:

\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle =\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr.

x

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A energia potencial total média de um gás é portanto

\langle H^{pot}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle

, onde N é o número de partículas do gás, e o factor ½ é necessário porque a soma sobre todas as partículas conta cada interacção duas vezes. Somando as energias cinética e potencial, logo aplicando a equipartição, obtém-se a equação de energia:

H=\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{B}T+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr.

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Um argumento similar,^[5] pode ser usado para derivar a equação de pressão

3Nk_{B}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{3}U'(r)g(r)\,dr.

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Osciladores não harmónicos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Oscilador não harmónico

Um oscilador não harmónico (diferentemente de um oscilador harmónico simples) é aquele em que a energia potencial não é quadrática relativamente à posição q (a posição generalizada que mede o desvio do sistema em relação ao equilíbrio). Este tipo de osciladores apresentam um ponto de vista complementar sobre o teorema da equipartição.^[37]^[38] Simples exemplos são providenciados por funções de energia potencial sob a forma:

H^{\mathrm {pot} }=Cq^{s},\,

x

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onde C e s são constantes reais arbitrárias. Nestes casos, a lei da equipartição prediz que:

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle .

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Portanto, a energia potencial média é k_BT/s, e não k_BT/2 como no caso de um oscilador harmónico quadrático (onde s=2).

De forma mais geral, uma típica função de energia de um sistema unidimensional apresenta uma expansão de Taylor na variável q:

H^{\mathrm {pot} }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n}

x

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para valores não negativos de inteiros n. Não existe termo n=1, porque no ponto de equilíbrio, não existe força líquida e então a primeira derivada da energia é zero. Não é necessário incluir o termo n=0, dado que a energia na posição de equilíbrio pode ser definida como zero, por convenção. Neste caso, a lei da equipartição prediz que^[37]:

k_{B}T={\Bigl \langle }q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\sum _{n=2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n}\rangle .

x

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Em contraposição com os outros exemplos mostrados aqui, a fórmula de equipartição

\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({\frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle

x

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não permite escrever a energia potencial média em termos de constantes conhecidas.

Movimento browniano[editar | editar código-fonte]

Figura 7. Típico movimento browniano de uma partícula em três dimensões.

Ver artigo principal: Movimento browniano

O teorema da equipartição pode ser utilizado para obter o movimento browniano de uma partícula a partir da equação de Langevin^[5]. De acordo com esta equação, o movimento de uma partícula de massa m com velocidade v é governado pela segunda lei de Newton:

{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {1}{m}}\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {v} }{\tau }}+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} ^{\mathrm {aleatoria} },

x

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onde F^aleatória é uma força aleatória que representa os choques aleatórios entre a partícula e as moléculas que a rodeiam, e onde a constante de tempo τ reflecte a força de arrasto que se opõe ao movimento da partícula através da solução. A força de arrasto é escrita geralmente como: F^arrasto = - γv; portanto, a constante de tempo τ é igual a m/γ.

Realizando o produto escalar desta equação com o vector posição r, depois de tomada a média, resulta na equação:

{\Bigl \langle }\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}{\Bigr \rangle }+{\frac {1}{\tau }}\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \rangle =0

x

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para o movimento browniano (dado que a força aleatória F^aleatória não está correlacionada com a posição r). Utilizando identidades matemáticas, resulta:

{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2}\right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)

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{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}},

x

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a equação básica do movimento browniano pode-se transformar em:

{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt}}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{B}T,

x

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onde a última igualdade do teorema da equipartição para a energia cinética de translação é:

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle ={\Bigl \langle }{\frac {p^{2}}{2m}}{\Bigr \rangle }=\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{B}T.

x

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Esta equação diferencial para

\langle r^{2}\rangle

(com condições iniciais apropriadas) possui uma solução exacta:

\langle r^{2}\rangle ={\frac {6k_{B}T\tau ^{2}}{m}}\left(e^{-t/\tau }-1+{\frac {t}{\tau }}\right).

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Em escalas de tempo relativamente curtas, com t << τ, a partícula se comporta como uma partícula com movimento livre: um desenvolvimento em série de Taylor da função exponencial, a distância ao quadrado cresce aproximadamente de forma quadrática:

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {3k_{B}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}.

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No entanto, em escalas de tempo longas, com t >> τ, os termos exponenciais e constante são desprezíveis, e a distância quadrática cresce somente de maneira linear:

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {6k_{B}T\tau }{m}}t=6\gamma k_{B}Tt.

x

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Isto descreve a difusão de uma partícula ao longo do tempo. Uma equação análoga para a difusão rotacional de uma molécula rígida pode ser obtida de maneira semelhante.

Física estelar[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Astrofísica e Evolução estelar

Figura 8. A equipartição permite fazer estimativas da temperatura do núcleo solar.

O teorema da equipartição e o teorema do virial têm sido muito utilizados como ferramentas da astrofísica.^[39] Por exemplo, o teorema do virial pode ser utilizado para estimar a temperatura de uma estrela ou o limite de Chandrasekhar em relação à massa de estrelas anãs brancas.^[40]^[41]

A temperatura média de uma estrela pode ser estimada utilizando o teorema da equipartição.^[42] Dado que muitas estrelas possuem simetria esférica, a energia potencial gravitacional total pode-se obter mediante integração:

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M(r)\,\rho (r)\,dr,

x

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onde M(r) é a massa contida dentro do rádio r e ρ(r) é a densidade estelar no raio r; G representa a constante gravitacional universal e R o raio total da estrela. Se se assumir que a estrela possui uma densidade constante em todo os pontos, a integração desta expressão resulta na fórmula:

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R}},

onde M é a massa total da estrela. Portanto, a energia potencial média de uma partícula unitária é:

\langle H^{\mathrm {grav} }\rangle ={\frac {H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }}{N}}=-{\frac {3GM^{2}}{5RN}},

onde N é o número de partículas na estrela. Dado que a maioria das estrelas é composta de hidrogénio ionizado, N é aproximadamente (M/m_p), onde m_p é a massa de um protão. Aplicando o teorema da equipartição é possível estimar a temperatura da estrela:

{\Bigl \langle }r{\frac {\partial H^{\mathrm {grav} }}{\partial r}}{\Bigr \rangle }=\langle -H^{\mathrm {grav} }\rangle =k_{B}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.

Substituindo a massa e o raio do Sol, obtém-se uma estimativa da temperatura solar de T = 14 milhões Kelvin, muito próxima à temperatura do seu núcleo que é de 15 milhões Kelvin. No entanto, o Sol é muito mais complexo do que o que se supõe neste modelo — tanta a sua temperatura como a sua densidade variam fortemente com o raio — e o pequeno erro de aproximação de ≈7% é em parte fortuito.^[43]

Formação estelar[editar | editar código-fonte]

As mesmas fórmulas podem ser aplicadas para calcular as condições para a formação estelar numa nuvem molecular gigante.^[44] Uma flutuação local na densidade de tal nuvem pode conduzir a uma condição instável, provocando que a nuvem colapse sobre si mesma por efeito da sua própria gravidade. Tal colapso ocorre quando o teorema da equipartição — ou, de forma equivalente, o teorema do virial — deixam de ser válidos quando a energia potencial gravitacional é mais do dobro da energia cinética:

{\frac {3GM^{2}}{5R}}>3Nk_{B}T

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Supondo uma densidade constante ρ na nuvem:

M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho

resulta na massa mínima para a contracção estelar, a massa de Jeans M_J:

M_{J}^{2}=\left({\frac {5k_{B}T}{Gm_{p}}}\right)^{3}\left({\frac {3}{4\pi \rho }}\right)

Substituindo pelos valores tipicamente observados em tais nuvens (T=150 K, ρ = 2×10⁻¹⁶ g/cm³) obtém-se que a massa mínima tem o valor de cerca de 17 massas solares, o qual é consistente com a informação recolhida mediante observação do processo de formação estelar. Este efeito é conhecido como instabilidade de Jeans, em honra ao físico britânico James Hopwood Jeans que o publicou em 1902.^[45]

Derivações[editar | editar código-fonte]

Energia cinética e a distribuição de Maxwell-Boltzmann[editar | editar código-fonte]

A formulação original do teorema da equipartição estabelece que, em todo o sistema físico em equilíbrio térmico, cada partícula possui exactamente a mesma energia cinéticamédia, (3/2)k_BT.^[46]. Isto pode ser mostrado utilizando a distribuição de Maxwell-Boltzmann (ver Figura 2), que é a distribuição de probabilidade:

f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\!\!v^{2}\exp {\Bigl (}{\frac {-mv^{2}}{2k_{B}T}}{\Bigr )}

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

para a velocidade de uma partícula de massa m no sistema, onde a velocidade v é a magnitude

{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}

do vector velocidade

\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})

A distribuição de Maxwell–Boltzmann aplica-se a todos os sistemas composto de átomos, e somente supõe um conjunto canónico, especificamente, que as energias cinéticas estejam distribuídas de acordo com o seu factor de Boltzmann a uma temperatura T^[46]. A energia cinética média de uma partícula de massa m é dada pela fórmula integral:

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle =\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle =\int _{0}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}mv^{2}\ f(v)\ dv={\tfrac {3}{2}}k_{B}T,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

de acordo com o requerido pelo teorema da equipartição. O mesmo resultado pode ser obtido calculando a média da energia da particula, usando a probabilidade de encontrar a particula num certo estado de energia quântica.^[35]

Energias quadráticas e a função de partição[editar | editar código-fonte]

Mais geralmente, o teorema da equipartição indica que qualquer grau de liberdade x que participa na energia total H unicamente como um termo quadrático simples Ax², onde Aé uma constante, possui uma energia média ½k_BT em equilíbrio térmico. Neste caso, o teorema da equipartição pode obter-se a partir da função partição Z(β), onde β=1/(k_BT) é a temperatura inversa canónica^[47]. Se se integrar sobre a variável x obtém-se o factor:

Z_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ e^{-\beta Ax^{2}}={\sqrt {\frac {\pi }{\beta A}}},

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

na fórmula de Z. A energia média associada a este factor é dada por:

\langle H_{x}\rangle =-{\frac {\partial \log Z_{x}}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {1}{2}}k_{B}T

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

como estabelece o teorema da equipartição.

Demonstrações gerais[editar | editar código-fonte]

A dedução do teorema geral da equipartição é apresentado em numerosos livros de mecânica estatística, tanto para o conjunto microcanónico^[5]^[9] como para o conjunto canónico.^[5]^[33] A dedução envolve realizar médias sobre o espaço de fase do sistema, que é uma variedade simplética.

Para explicar estas derivações, a seguinte notação é introduzida. Em primeiro lugar, o espaço de fase é descrito mediante as suas coordenadas de posição generalizadas q_jjuntamente com os seus momentos conjugados p_j. As variáveis q_j descrevem completamente a configuração do sistema, enquanto que as variáveis (q_j,p_j) descrevem completamente o seu estado físico.

Em segundo lugar, introduz-se o conceito de volume infinitesimal do espaço de fases:

d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}dp_{i}

e utilizado para definir o volume Γ(E, ΔE) da porção do espaço de fase onde a energia H do sistema se encontra entre os valores, E e E+ΔE:

\Gamma (E,\Delta E)=\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}d\Gamma .

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Nesta expressão, ΔE é assumido como sendo muito pequeno, ΔE<<E. De forma similar, define-se Σ(E) como o volume total do espaço de fase no qual a energia é menor que E:

\Sigma (E)=\int _{H<E}d\Gamma .

Como ΔE é muito pequeno, as seguintes integrações são equivalentes:

\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\ldots d\Gamma ,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

A partir disto, segue que Γ é proporcional a ΔE:

\Gamma =\Delta E\ {\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}=\Delta E\ \rho (E),

onde ρ(E) é a densidade dos estados. Utilizando as definições usuais de mecânica estatística, a entropia S é k_B log Σ(E), e a temperatura T é definida por:

{\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{b}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}}=k_{b}{\frac {1}{\Sigma }}\,{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}.

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

O conjunto canónico[editar | editar código-fonte]

No conjunto canónico, o sistema encontra-se em equilíbrio térmico com um banho térmico infinito a uma temperatura T (em Kelvin)^[5]^[33]. A probabilidade de cada estado no espaço de fase é dada pelo factor de Boltzmann multiplicado por um factor de normalização

{\mathcal {N}}

, escolhido de maneira a que a suma das probabilidades tenha o valor unitário.

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma =1,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde β = 1/k_BT. Una integração por partes para uma variável do espaço de fase x_k (que pode ser q_k ou p_k) entre dois limites a e b resulta na equação:

{\mathcal {N}}\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k}=b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}d\Gamma =1,

onde dΓ_k = dΓ/dx_k, i.e., a primeira integração não se realiza sobre x_k. O primeiro termo é geralmente igual a zero, tanto porque x_k é zero nos limites ou porque a energia tende a infinito nesses limites. Neste caso, o teorema da equipartição para o conjunto canónico é portanto:

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}\,d\Gamma ={\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta }}=k_{B}T.

Aqui, a média representado por

\langle \ldots \rangle

é a média do conjunto tomada sobre conjunto canónico.

O conjunto microcanónico[editar | editar código-fonte]

No caso do conjunto microcanónico, o sistema está isolado do resto do universo, ou pelo menos acoplado de forma muito débil com ele^[9]. Portanto, a sua energia total é efectivamente constante; ou seja, diz-se que a energia total H está confinada entre E e E+ΔE. Para uma dada energia E e diferencial ΔE, existe uma região do espaço de fase Γ na qual o sistema possui esta energia, e onde a probabilidade de cada estado nessa região do espaço de fase é igual, pela definição do conjunto microcanónico. De acordo com estas definições, a média de equipartição das variável de espaço de fase x_m (que tanto podem ser q_kou p_k) e x_n, é dada por:

{\begin{aligned}{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }&={\frac {1}{\Gamma }}\,\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma \\&={\frac {\Delta E}{\Gamma }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma \\&={\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial \left(H-E\right)}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma ,\end{aligned}}

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde a última igualdade é possível porque E é uma constante que não depende de x_n. Integrando por partes, obtém-se a relação:

{\begin{aligned}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (H-E)}{\partial x_{n}}}\,d\Gamma &=\int _{H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigl (}x_{m}(H-E){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H<E}\delta _{mn}(H-E)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(E-H)\,d\Gamma ,\end{aligned}}

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

dado que o primeiro termo do lado direito da primeira linha é zero (pode ser reescrito como um integral de H - E sobre a hipersuperfície onde H = E).

Substituição deste resultado na equação prévia, resulta em:

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(E-H\right)\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho }}.

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Como

\rho ={\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}

o teorema da equipartição é:

{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac {1}{\Sigma }}{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}k_{B}T.

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Portanto, obteve-se Formulação geral do teorema da equipartição

\!{\Bigl \langle }x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T,

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

que foi tão útil nas aplicações descritas previamente.

Limitações[editar | editar código-fonte]

Requerimentos de ergodicidade[editar | editar código-fonte]

A energia não é compartilhada entre os vários modos normais num sistema isolado de osciladores harmónicos idealmente acoplados; a energia em cada modo é constante e independente da energia nos outros modos. Portanto, o teorema da equipartição não se cumpre para tal sistema no conjunto microcanónico (quando isolado), apesar de que a equipartição se cumpra no conjunto canónico(quando acoplado a um banho térmico). No entanto, se se incorporar um acoplamento suficientemente forte entre os modos, a energia será compartilhada e a equipartição é satisfeita em ambos os conjuntos.

Ver artigo principal: Ergodicidade, Teoria do caos e Teorema de Kolmogorov–Arnold–Moser

A lei da equipartição apenas é aplicável em sistemas ergódicos em equilíbrio térmico, o que implica que todos os estados com a mesma energia devem ter uma igual probabilidade de serem activados.^[9] Portanto, deve ser possível intercambiar energia entre todas as formas existentes num sistema, ou com um banho térmico externo no conjunto canónico. O número de sistemas físicos em que demonstrou de forma rigorosa serem ergódicos é diminuto; um exemplo famoso é o do sistema de esferas duras de Yakov Sinai.^[48] Têm-se estudado os requerimentos para que sistemas isolados assegurem a ergodicidade, e portanto a equipartição. Estes estudos têm motivado o desenvolvimento da teoria do caos de sistemas dinâmicos. Um sistema hamiltonianocaótico não necessita ser ergódico, apesar de que, geralmente, essa seja uma boa suposição.^[49]

Um contra exemplo, muitas vezes citado, onde a energia não é compartilhada entre as suas várias formas e no qual a equipartição não é aplicável no caso dos conjuntos microcanónicos é o caso dos sistemas de osciladores harmónicos acoplados.^[49] Se o sistema está isolado do resto da sua vizinhança, a energia em cada modo normal é constante; a energia não se transfere entre os distintos modos. Portanto, a equipartição não é satisfeita em tal sistema; a quantidade de energia em cada modo normal permanece fixa no seu valor inicial.

Se existem termos não lineares suficientemente importantes na função de energia, então a energia será transferida entre os modos normais, dando lugar a ergodicidade e fazendo que a lei de equipartição seja válida. No entanto, o teorema Kolmogorov–Arnold–Moser estabelece que a energia não será trocada a menos que existam perturbações não lineares suficientemente fortes; se as mesmas forem muito pequenas, a energia permanecerá armadilhada em pelo menos alguns dos modos.

Falha devido a efeitos quânticos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Catástrofe ultravioleta, História da mecânica quântica e partículas idênticas

Diagrama da energia média de um oscilador harmónicoquântico (a vermelho) em função da temperatura. Para efeitos de comparação, mostram-se, a negro, os valores obtidos mediante o teorema da equipartição. A altas temperaturas, os dois coincidem quase perfeitamente, mas a baixas temperaturas, quando k_BT << hν, o valor do sistema mecânico quântico diminui muito mais rapidamente. Isto resolve o problema da catástrofe ultravioleta: para uma dada temperatura, a energia nos modos de alta frequência (onde hν >> k_BT) é praticamente zero.

A lei da equipartição deixa de ser efectiva quando a energia térmica k_BT é significativamente menor que o espaçamento entre os níveis de energia quântica. A equipartição não é efectiva nessas circunstâncias porque é uma aproximação fraca supor que os níveis de energia formam um continuum suave, condição requerida nas derivações do teorema de equipartição.^[5]^[9]Historicamente, as falhas do teorema da equipartição clássico, para explicar as capacidades térmicas e a radiação do corpo negro foram essenciais para mostrar a necessidade de se avançar com uma nova teoria para a matéria e para a radiação, nomeadamente a mecânica quântica e a teoria quântica de campos.^[11]

Como exemplo da falha da equipartição, pode-se analisar a energia média de um oscilador harmónico quântico, analisado anteriormente para o caso clássico. Os seus níveis de energia quânticos são E_n = nhν, onde h é a constante de Planck, ν é a frequência fundamental do oscilador, e n é um número inteiro. A probabilidade de que um dado nível de energia esteja ocupado no conjunto canónico é dada pelo seu factor de Boltzmann:

P(E_{n})={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z}},

x

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

onde β = 1/k_BT e o denominador Z é a função partição, neste caso uma série geométrica

Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu }}}.

A sua energia média é:

\langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}.

x

x

Δ e, Δ M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... = x sistema de dez dimensões de Graceli. x sistema de transições de estados, e estados de Graceli, x T l T l E l Fl dfG l N l El tf l P l Ml tfefel Ta l Rl Ll D

Substituindo a fórmula para Z, obtém-se o resultado final ^[9]

\langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}}.

A altas temperaturas, quando a energia térmica k_BT é muito maior que o espaçamento hν entre níveis de energia, o argumento exponencial βhν é muito menor que um e a energia média é k_BT, o que está de acordo com o teorema da equipartição (Figura 10). No entanto, a baixas temperaturas, quando hν >> k_BT, a energia média cai a zero — os níveis de energia de altas frequências encontram-se "congelados" (Figura 10). Outro exemplo é o caso dos estados electrónicos excitados de um átomo de hidrogénio que não contribuem para a sua capacidade térmica, quando em estado gasoso e a temperatura ambiente, porque a energia térmica k_BT (aproximadamente 0.025 eV) é muito menor que o espaçamento entre o nível de energia electrónico inferior e o próximo nível de energia electrónico (aproximadamente 10 eV).

Considerações similares aplicam-se sempre que o espaçamento dos níveis de energia é muito maior que a energia térmica. Por exemplo, este raciocínio foi utilizado por Albert Einstein para resolver a questão da catástrofe ultravioleta da radiação de corpo negro.^[50] O paradoxo acontece porque existe um número infinito de modos independentes num campo electromagnético no caso de um recipiente fechado, cada um dos quais podendo ser analisado como um oscilador harmónico. Se cada modo electromagnético tivesse uma energia média k_BT, então a energia total contida no recipiente seria infinita.^[50]^[51] No entanto, pelas razões expostas previamente, a energia média nos modos de alto ω tendem a zero quando ω tende para infinito. Para mais, a lei de Plank para radiação de corpo negro, que descreve a distribuição experimental da energia nos distintos modos, satisfaz o mesmo raciocínio.^[50]

Outros efeitos quânticos mais subtis podem levar a correcções à equipartição, tais como os casos de partículas idênticas e de simetrias continuas. Os efeitos de partículas idênticas podem ser dominantes a muito altas densidades e baixas temperaturas. Por exemplo, os electrões de valência num metal podem ter uma energia cinética média de alguns electrão-volt, o que normalmente corresponderia a uma temperatura de dezenas de milhar de graus Kelvin. Em tal estado, no qual a densidade é suficientemente elevada para que o princípio de exclusão de Pauli invalide o modelo clássico, é denominado de gás degenerado de fermiões. Tais gases são importantes para entender as estruturas das anãs brancas e estrelas de neutrões. A baixas temperaturas, pode-se formar um análogo fermiónico do Condensado de Bose-Einstein (no qual uma grande quantidade de partícula idênticas ocupam o nível de energia mais baixo); estes electrões com superfluidez são os responsáveis pela supercondutividade.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

sistema de transições de estados, e estados de Graceli,

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

= entropia reversível

matriz categorial Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl

Matriz categorial de Graceli.

T l T l E l Fl dfG l

N l El tf l

P l Ml tfefel

Ta l Rl